Límite: Tendencia.
El vocablo límite es una palabra que procede del sustantivo “limes”, que puede traducirse como “frontera o borde”.
La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación. Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más a los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Límite de una función.
El estudio del límite de una función en un punto permite determinar qué pasa con el valor de la función cuando la variable x se aproxima a un punto concreto, y de allí puede pasar:
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- Que no pase nada, que la función se comporte de un modo predecible;
- Que la función tome valores distintos, dependiendo de que la aproximación se realice por la izquierda o por la derecha;
- Que la función tome valores enormemente grandes;
- Que no sepamos que pasa, porque la función se comporta de manera impredecible;
Tendencia.
Para determinar los ítems anteriores se debe precisar la idea de tendencia. Decir que "x tiende a a" (x -> a) significa que x toma valores próximos a a, menores o mayores que a, pero cercanos (tan cercanos como se desee). Por ejemplo, x tiende a 1, x -> 1 significa que x va toma valores como los siguientes:
x=0,9; x=0,99; x=0,999; ....
en este caso x -> 1 por la izquierda x -> 1-
(el menos posterior al 1 representa "por la izquierda)
x=1,1; x=1,01; x=1,001; ....
en este caso x -> 1 por la derecha x -> 1+
(el más posterior al 1 representa "por la derecha")
en este caso x -> 1 por la izquierda x -> 1-
(el menos posterior al 1 representa "por la izquierda)
x=1,1; x=1,01; x=1,001; ....
en este caso x -> 1 por la derecha x -> 1+
(el más posterior al 1 representa "por la derecha")
La idea de tendencia es la de cada vez más cerca, significa que la distancia es cada vez más pequeña.
Decir que f(x) tiende a l, f(x) -> l, significa que f(x) toma valores próximos a l, menores o mayores que l, pero cercanos. Ejemplo:
Decir que f(x) tiende a l, f(x) -> l, significa que f(x) toma valores próximos a l, menores o mayores que l, pero cercanos. Ejemplo:
Otro ejemplo, dada la función f : R -> R / f(x) = x^2 - 3x
¿Cómo se comportan los valores de la función en las proximidades de x =-1? ¿Qué sucede con f(x) cuando x tiende a –1?
Para responder a estas preguntas, se puede analizar qué valores toma la función en valores próximos a -1 por derecha y por izquierda.
Para ello, es conveniente la confección de una tabla donde se calculan las imágenes de los valores de x considerados, observar la tabla, cuando x se aproxima a -1 por valores menores que él (por la izquierda), los valores de la función se aproximan a 4. De la misma manera, cuando se eligen valores de x que se aproximan a -1 por valores mayores que él (por la derecha), la función se aproxima a 4.
Los valores de la función están próximos a 4 para valores de x suficientemente cercanos a -1 (ver gráfico). No interesa el valor de la función cuando x es igual a –1. Este comportamiento de la función también puede observarse gráficamente. Se expresa de la siguiente manera: "el límite de la función (x^2 - 3x) es 4 cuando x tiende a -1".
¿No es posible calcular el valor de la función directamente en x =-1 y evitar la construcción de la tabla?
En este ejemplo se puede calcular la imagen de la función en x =-1.
f(-1) = (-1)^2- 3.(-1) = 4, valor que coincide con el límite, pero esto no sucede para todas las funciones.
En general, el límite cuando x tiende a un nro. "a", de una función es igual a otro nro. "L", significa que cuando x se acerca a "a" tan cerca como sea necesario, el valor de la función se acerca a "L" tan cerca como se desee.
En símbolos: Lim x->a f(x) = L
El comportamiento de la función debe ser el mismo si se acerca por la derecha y por la izquierda, para que el límite exista.
En símbolos: Lim x->a- f(x) = L y Lim x->a+ f(x) = L
entonces Lim x->a f(x) = L
En símbolos: Lim x->a f(x) = L
El comportamiento de la función debe ser el mismo si se acerca por la derecha y por la izquierda, para que el límite exista.
En símbolos: Lim x->a- f(x) = L y Lim x->a+ f(x) = L
entonces Lim x->a f(x) = L