Funciones 3: Nuevas Relaciones.
Función Inversa.
Se dice que una función f: A -> B / y = f(x) es biyectiva si todos los elementos de B tienen una y solo una preimagen.
Para una función biyectiva, f: A -> B / y = f(x), es posible hallar que asigna a cada elemento de B su preimagen por f. A la función la llamamos función inversa de f. |
En el video se observa lo expresado anteriormente a través de ejemplos:
Recordar que si se gráfica una función y su inversa en un mismo sistema cartesiano, utilizando la misma escala en ambos ejes, las gráficas son simétricas con respecto de la recta y = x, como se puede observar en el gráfico.
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Composición de Funciones.
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].
Ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1. Aquí se observará la composición, a través del cálculo de una función compuesta en otra, la forma de escritura e interpretación:
A la composición de funciones se la considera como una operación especial, la composición consiste en sustituir una de las funciones dentro de otra, es una nueva función que se representa del siguiente modo: (g o f)(x) = g[f(x)] y se lee "f compuesta en g"
Para denotar las composiciones se pone el símbolo "o".
Lo mismo para (f o g)(x) = f[g(x)] y se lee "g compuesta en f". |
***** Tener en cuenta *****
Para hacer las composiciones se sustituye del centro hacia afuera, se hacen las operaciones indicadas y se simplifica para obtener los resultados. |
Ejemplos: f(x) = 3x - 2 , g(x) = x^2 + 3x (tener presente que el signo ^ representa elevación)
(fog)(x) = f[g(x)] = 3(x^2 + 3x) - 2 = 3x^2 + 9x - 2
Se observar que se sustituye la función de g(x) por las x de la función f(x). Para el siguiente caso:
(gof)(x) = g[f(x)] = (3x - 2)^2 + 3(3x - 2) = 9x^2 - 12x + 4 + 9x - 6 = 9x^2 - 3x - 2
(fog)(x) = f[g(x)] = 3(x^2 + 3x) - 2 = 3x^2 + 9x - 2
Se observar que se sustituye la función de g(x) por las x de la función f(x). Para el siguiente caso:
(gof)(x) = g[f(x)] = (3x - 2)^2 + 3(3x - 2) = 9x^2 - 12x + 4 + 9x - 6 = 9x^2 - 3x - 2